Esercizi su termoresistenze, sensori e termocoppie

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Esercizi su termoresistenze, sensori e termocoppie

Versione italiana

Esercizi su termoresistenze, sensori e termocoppie

Le termoresistenze, i sensori e le termocoppie sono dispositivi utilizzati per misurare la temperatura. Ecco alcuni concetti fondamentali e alcuni esercizi con le relative soluzioni.

Concetti Fondamentali

1. Termoresistenza (RTD): È un tipo di sensore di temperatura che utilizza la variazione della resistenza elettrica di un materiale (solitamente platino) in funzione della temperatura. La relazione tra resistenza e temperatura è generalmente lineare in un certo intervallo di temperatura.

2. Sensori di Temperatura: Possono essere di vari tipi, tra cui:

   • Termoresistenze (RTD): Offrono alta precisione e stabilità.
   • Termocoppie: Composte da due metalli diversi, generano una tensione proporzionale alla differenza di temperatura tra le giunzioni.
   • Termistori: Resistenze che cambiano in modo non lineare con la temperatura.

3. Termocoppie: Sono dispositivi che consistono in due fili di metalli diversi uniti in un punto (giunzione). Quando la giunzione è riscaldata, si genera una tensione che può essere utilizzata per determinare la temperatura. Le termocoppie sono classificate in base ai materiali utilizzati (ad esempio, tipo K, tipo J, ecc.).

4. Legge di Steinhart-Hart: È una formula utilizzata per descrivere la relazione tra la resistenza di un termistore e la temperatura. È utile per calcolare la temperatura in base alla resistenza misurata.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo della Resistenza di una Termoresistenza

Domanda: Una termoresistenza di platino ha una resistenza di 100 Ω a 0 °C. Se il coefficiente di temperatura è 0,00385 Ω/°C, qual è la resistenza a 100 °C?

Soluzione:
La resistenza a una temperatura T può essere calcolata con la formula:

R(T) = R_0 \times (1 + \alpha \times T)

$$R(T) = R_0 \times (1 + \alpha \times T)$$

Dove:

• R_0 = 100 \, Ω$R_0 = 100 \, Ω$ (resistenza a 0 °C)
• \alpha = 0,00385 \, Ω/°C$\alpha = 0,00385 \, Ω/°C$
• T = 100 °C$T = 100 °C$

Calcoliamo:

R(100) = 100 \times (1 + 0,00385 \times 100) = 100 \times (1 + 0,385) = 100 \times 1,385 = 138,5 \, Ω

$$R(100) = 100 \times (1 + 0,00385 \times 100) = 100 \times (1 + 0,385) = 100 \times 1,385 = 138,5 \, Ω$$

Quindi, la resistenza a 100 °C è 138,5 Ω.

Esercizio 2: Calcolo della Tensione di una Termocoppia

Domanda: Una termocoppia tipo K genera una tensione di 41 mV a una temperatura di 100 °C. Qual è la tensione generata a 200 °C, considerando che la sensibilità della termocoppia è di 40 µV/°C?

Soluzione:
La tensione generata da una termocoppia è proporzionale alla temperatura. Possiamo calcolare la tensione a 200 °C utilizzando la sensibilità:

\Delta T = 200 - 100 = 100 \, °C

$$\Delta T = 200 - 100 = 100 \, °C$$

La variazione di tensione sarà:

\Delta V = \text{Sensibilità} \times \Delta T = 40 \, µV/°C \times 100 \, °C = 4000 \, µV = 4 \, mV

$$\Delta V = \text{Sensibilità} \times \Delta T = 40 \, µV/°C \times 100 \, °C = 4000 \, µV = 4 \, mV$$

Quindi, la tensione a 200 °C sarà:

V(200) = V(100) + \Delta V = 41 \, mV + 4 \, mV = 45 \, mV

$$V(200) = V(100) + \Delta V = 41 \, mV + 4 \, mV = 45 \, mV$$

Quindi, la tensione generata a 200 °C è 45 mV.

Esercizio 3: Calcolo della Temperatura da una Termoresistenza

Domanda: Un termistore ha una resistenza di 10 kΩ a 25 °C. Utilizzando la legge di Steinhart-Hart, se i coefficienti sono A = 1.40 \times 10^{-3}$\times 10^{-3}$, B = 2.37 \times 10^{-4}$B = 2.37 \times 10^{-4}$, e C = 9.90 \times 10^{-8}$C = 9.90 \times 10^{-8}$, calcola la temperatura.

Soluzione:
La legge di Steinhart-Hart è espressa come:

\frac{1}{T} = A + B \ln(R) + C (\ln(R))^3

$$\frac{1}{T} = A + B \ln(R) + C (\ln(R))^3$$

Dove:

• T è la temperatura in Kelvin.
• R è la resistenza del termistore in ohm.

Convertiamo la resistenza in ohm:

R = 10 \, kΩ = 10,000 \, Ω

$$R = 10 \, kΩ = 10,000 \, Ω$$

Ora sostituiamo i valori nella formula:

\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 2.37 \times 10^{-4} \ln(10,000) + 9.90 \times 10^{-8} (\ln(10,000))^3

$$\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 2.37 \times 10^{-4} \ln(10,000) + 9.90 \times 10^{-8} (\ln(10,000))^3$$

Calcoliamo \ln(10,000)$\ln(10,000)$:

\ln(10,000) \approx 9.2103

$$\ln(10,000) \approx 9.2103$$

Ora calcoliamo i singoli termini:

1. A = 1.40 \times 10^{-3}$A = 1.40 \times 10^{-3}$
2. B \ln(R) = 2.37 \times 10^{-4} \times 9.2103 \approx 0.00218$B \ln(R) = 2.37 \times 10^{-4} \times 9.2103 \approx 0.00218$
3. C (\ln(R))^3 = 9.90 \times 10^{-8} \times (9.2103)^3 \approx 9.90 \times 10^{-8} \times 778.86 \approx 7.71 \times 10^{-5}$C (\ln(R))^3 = 9.90 \times 10^{-8} \times (9.2103)^3 \approx 9.90 \times 10^{-8} \times 778.86 \approx 7.71 \times 10^{-5}$

Sommiamo i termini:

\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 0.00218 + 7.71 \times 10^{-5} \approx 0.00465

$$\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 0.00218 + 7.71 \times 10^{-5} \approx 0.00465$$

Ora calcoliamo T):

T = \frac{1}{0.00465} \approx 215.05 \, K

$$T = \frac{1}{0.00465} \approx 215.05 \, K$$

Convertiamo in gradi Celsius:

T(°C) = T(K) - 273.15 \approx 215.05 - 273.15 \approx -58.10 \, °C

$$T(°C) = T(K) - 273.15 \approx 215.05 - 273.15 \approx -58.10 \, °C$$

Quindi, la temperatura corrispondente a una resistenza di 10 kΩ è circa -58.10 °C.

Esercizio 4: Calcolo della Temperatura con una Termocoppia

Domanda: Una termocoppia tipo J genera una tensione di 50 mV a 150 °C. Qual è la tensione generata a 300 °C, considerando che la sensibilità della termocoppia è di 50 µV/°C?

Soluzione:
Calcoliamo la variazione di temperatura:

\Delta T = 300 - 150 = 150 \, °C

$$\Delta T = 300 - 150 = 150 \, °C$$

Ora calcoliamo la variazione di tensione:

\Delta V = \text{Sensibilità} \times \Delta T = 50 \, µV/°C \times 150 \, °C = 7500 \, µV = 7.5 \, mV

$$\Delta V = \text{Sensibilità} \times \Delta T = 50 \, µV/°C \times 150 \, °C = 7500 \, µV = 7.5 \, mV$$

La tensione a 300 °C sarà:

V(300) = V(150) + \Delta V = 50 \, mV + 7.5 \, mV = 57.5 \, mV

$$V(300) = V(150) + \Delta V = 50 \, mV + 7.5 \, mV = 57.5 \, mV$$

Quindi, la tensione generata a 300 °C è 57.5 mV.

English version

Resistance Thermometers, Sensors and Thermocouples Exercises

Resistance thermometers, sensors and thermocouples are devices used to measure temperature. Here are some fundamental concepts and some exercises with their solutions.

Fundamental Concepts

1. Resistance Thermometer (RTD): It is a type of temperature sensor that uses the variation of the electrical resistance of a material (usually platinum) as a function of temperature. The relationship between resistance and temperature is generally linear in a certain temperature range.

2. Temperature Sensors: There can be various types, including:

• Resistance Thermometers (RTD): They offer high precision and stability.
• Thermocouples: Composed of two different metals, they generate a voltage proportional to the temperature difference between the junctions.
• Thermistors: Resistors that change non-linearly with temperature.

3. Thermocouples: These are devices that consist of two wires of different metals joined at a point (junction). When the junction is heated, a voltage is generated that can be used to determine the temperature. Thermocouples are classified by the materials used (for example, K-type, J-type, etc.).

4. Steinhart-Hart Law: This is a formula used to describe the relationship between the resistance of a thermistor and the temperature. It is useful for calculating the temperature based on the measured resistance.

Exercises

Exercise 1: Calculating the Resistance of a RTD

Question: A platinum RTD has a resistance of 100 Ω at 0 °C. If the temperature coefficient is 0.00385 Ω/°C, what is the resistance at 100 °C?

Solution:
The resistance at a temperature T can be calculated with the formula:

R(T) = R_0 \times (1 + \alpha \times T)

$$R(T) = R_0 \times (1 + \alpha \times T)$$

Where:

• R_0 = 100 \, Ω$R_0 = 100 \, Ω$ (resistance at 0 °C)
• \alpha = 0.00385 \, Ω/°C$\alpha = 0.00385 \, Ω/°C$
• T = 100 °C$T = 100 °C$

Let's calculate:

R(100) = 100 \times (1 + 0.00385 \times 100) = 100 \times (1 + 0.385) = 100 \times 1.385 = 138.5 \, Ω

$$R(100) = 100 \times (1 + 0.00385 \times 100) = 100 \times (1 + 0.385) = 100 \times 1.385 = 138.5 \, Ω$$

So, the resistance at 100 °C is 138.5 Ω.

Exercise 2: Calculating the Voltage of a Thermocouple

Question: A type K thermocouple generates a voltage of 41 mV at a temperature of 100 °C. What is the voltage generated at 200 °C, considering that the sensitivity of the thermocouple is 40 µV/°C?

Solution:
The voltage generated by a thermocouple is proportional to the temperature. We can calculate the voltage at 200 °C using the sensitivity:

\Delta T = 200 - 100 = 100 \, °C

$$\Delta T = 200 - 100 = 100 \, °C$$

The voltage change will be:

\Delta V = \text{Sensitivity} \times \Delta T = 40 \, µV/°C \times 100 \, °C = 4000 \, µV = 4 \, mV

$$\Delta V = \text{Sensitivity} \times \Delta T = 40 \, µV/°C \times 100 \, °C = 4000 \, µV = 4 \, mV$$

So, the voltage at 200 °C will be:

V(200) = V(100) + \Delta V = 41 \, mV + 4 \, mV = 45 \, mV

$$V(200) = V(100) + \Delta V = 41 \, mV + 4 \, mV = 45 \, mV$$

So, the voltage generated at 200 °C is 45 mV.

Exercise 3: Calculating Temperature from a RTD

Question: A thermistor has a resistance of 10 kΩ at 25 °C. Using the Steinhart-Hart law, if the coefficients are A = 1.40 \times 10^{-3}$\times 10^{-3}$, B = 2.37 \times 10^{-4}$B = 2.37 \times 10^{-4}$, and C = 9.90 \times 10^{-8}$C = 9.90 \times 10^{-8}$, calculate the temperature.

Solution:
The Steinhart-Hart law is expressed as:

\frac{1}{T} = A + B \ln(R) + C (\ln(R))^3

$$\frac{1}{T} = A + B \ln(R) + C (\ln(R))^3$$

Where:

• T is the temperature in Kelvin.
• R is the resistance of the thermistor in ohms.

Let's convert the resistance to ohms:

R = 10 \, kΩ = 10,000 \, Ω

$$R = 10 \, kΩ = 10,000 \, Ω$$

Now we substitute the values ​​into the formula:

\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 2.37 \times 10^{-4} \ln(10,000) + 9.90 \times 10^{-8} (\ln(10,000))^3

$$\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 2.37 \times 10^{-4} \ln(10,000) + 9.90 \times 10^{-8} (\ln(10,000))^3$$

Let's calculate \ln(10,000)$\ln(10,000)$:

\ln(10,000) \approx 9.2103

$$\ln(10,000) \approx 9.2103$$

Now we calculate the individual terms:

1. A = 1.40 \times 10^{-3}$A = 1.40 \times 10^{-3}$
2. B \ln(R) = 2.37 \times 10^{-4} \times 9.2103 \approx 0.00218$B \ln(R) = 2.37 \times 10^{-4} \times 9.2103 \approx 0.00218$
3. C (\ln(R))^3 = 9.90 \times 10^{-8} \times (9.2103)^3 \approx 9.90 \times 10^{-8} \times 778.86 \approx 7.71 \times 10^{-5}$C (\ln(R))^3 = 9.90 \times 10^{-8} \times (9.2103)^3 \approx 9.90 \times 10^{-8} \times 778.86 \approx 7.71 \times 10^{-5}$
   Sum Let's use the terms:

\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 0.00218 + 7.71 \times 10^{-5} \approx 0.00465 

$$\frac{1}{T} = 1.40 \times 10^{-3} + 0.00218 + 7.71 \times 10^{-5} \approx 0.00465$$

Now we calculate T):

 T = \frac{1}{0.00465} \approx 215.05 \, K

$$T = \frac{1}{0.00465} \approx 215.05 \, K$$

Convert to Celsius:

T(°C) = T(K) - 273.15 \approx 215.05 - 273.15 \approx -58.10 \, °C

$$T(°C) = T(K) - 273.15 \approx 215.05 - 273.15 \approx -58.10 \, °C$$

So, the temperature corresponding to a resistance of 10 kΩ is approximately -58.10 °C.

Exercise 4: Calculating Temperature with a Thermocouple

Question: A type J thermocouple generates a voltage of 50 mV at 150 °C. What is the voltage generated at 300 °C, considering that the sensitivity of the thermocouple is 50 µV/°C?

Solution:
Let's calculate the temperature change:

\Delta T = 300 - 150 = 150 \, °C

$$\Delta T = 300 - 150 = 150 \, °C$$

Now let's calculate the voltage change:

\Delta V = \text{Sensitivity} \times \Delta T = 50 \, µV/°C \times 150 \, °C = 7500 \, µV = 7.5 \, mV

$$\Delta V = \text{Sensitivity} \times \Delta T = 50 \, µV/°C \times 150 \, °C = 7500 \, µV = 7.5 \, mV$$

The voltage at 300 °C will be:

V(300) = V(150) + \Delta V = 50 \, mV + 7.5 \, mV = 57.5 \, mV

$$V(300) = V(150) + \Delta V = 50 \, mV + 7.5 \, mV = 57.5 \, mV$$

So, the voltage generated at 300 °C is 57.5 mV.