Esercizi su equazioni parametriche e cartesiane di piano e retta

Esercizi su equazioni parametriche e cartesiane di piano e retta

Esercizi su equazioni parametriche e cartesiane di piano e retta

Versione italiana

Esercizi su equazioni parametriche e cartesiane di piano e retta

Le equazioni cartesiane e parametriche di un piano e di una retta sono strumenti fondamentali nella geometria analitica. Utilizzano i vettori per descrivere la posizione di punti nello spazio. Ecco una spiegazione dei concetti principali e alcuni esercizi.

Concetti Principali

1. Equazione Parametrica di una Retta:
   Una retta nello spazio può essere descritta usando un punto \mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$\mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$ e un vettore direzione \mathbf{d} = (a, b, c)$\mathbf{d} = (a, b, c)$. L'equazione parametrica della retta è:

   \mathbf{r}(t) = \mathbf{P_0} + t \mathbf{d}

   $$\mathbf{r}(t) = \mathbf{P_0} + t \mathbf{d}$$

   dove ( t ) è un parametro reale. Se \mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$\mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$ e \mathbf{d} = (a, b, c)$\mathbf{d} = (a, b, c)$, allora:

   \mathbf{r}(t) = (x_0 + ta, y_0 + tb, z_0 + tc)

   $$\mathbf{r}(t) = (x_0 + ta, y_0 + tb, z_0 + tc)$$

2. Equazione Cartesiana di una Retta:
   L'equazione cartesiana di una retta può essere espressa come:

   \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

   $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$

3. Equazione Parametrica di un Piano:
   Un piano può essere descritto usando un punto \mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$\mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$ e due vettori non paralleli \mathbf{u}$\mathbf{u}$ e \mathbf{v}$\mathbf{v}$. L'equazione parametrica del piano è:

   \mathbf{r}(s, t) = \mathbf{P_0} + s \mathbf{u} + t \mathbf{v}

   $$\mathbf{r}(s, t) = \mathbf{P_0} + s \mathbf{u} + t \mathbf{v}$$

   dove s e t sono parametri reali.

4. Equazione Cartesiana di un Piano:
   Un piano può essere descritto anche con l'equazione:

   A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

   $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

   dove (A, B, C) è un vettore normale al piano.

Esercizi

Esercizio 1

Trova l'equazione parametrica e cartesiana della retta che passa per i punti A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6).

Soluzione:

• Calcola il vettore direzione \mathbf{d} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)$\mathbf{d} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)$.
• Scegli un punto \mathbf{P_0} = (1, 2, 3)$\mathbf{P_0} = (1, 2, 3)$.
• Equazione parametrica:

  \mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(3, 3, 3) = (1 + 3t, 2 + 3t, 3 + 3t)

  $$\mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(3, 3, 3) = (1 + 3t, 2 + 3t, 3 + 3t)$$
• Equazione cartesiana:

  \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{3}

  $$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{3}$$

Esercizio 2

Trova l'equazione parametrica e cartesiana del piano che passa per il punto P(1, 1, 1) e ha come vettori direzione \mathbf{u} = (1, 0, 2)$\mathbf{u} = (1, 0, 2)$ e \mathbf{v} = (0, 1, 1)$\mathbf{v} = (0, 1, 1)$.

Soluzione:

• Scegli un punto \mathbf{P_0} = (1, 1, 1)$\mathbf{P_0} = (1, 1, 1)$.
• Equazione parametrica:

  \mathbf{r}(s, t) = (1, 1, 1) + s(1, 0, 2) + t(0, 1, 1)

  $$\mathbf{r}(s, t) = (1, 1, 1) + s(1, 0, 2) + t(0, 1, 1)$$
  Espandendo, otteniamo:

  \mathbf{r}(s, t) = (1 + s, 1 + t, 1 + 2s + t)

  $$\mathbf{r}(s, t) = (1 + s, 1 + t, 1 + 2s + t)$$
  Quindi, l'equazione parametrica del piano è:

  \begin{cases} x = 1 + s \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2s + t \end{cases}

  $$\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2s + t \end{cases}$$

Equazione Cartesiana del Piano

Per trovare l'equazione cartesiana del piano, possiamo utilizzare il punto P(1, 1, 1)$P(1, 1, 1)$ e il vettore normale, che può essere calcolato come il prodotto vettoriale dei due vettori direzione \mathbf{u}$\mathbf{u}$ e \mathbf{v}$\mathbf{v}$.

Calcoliamo il prodotto vettoriale:

\mathbf{u} = (1, 0, 2), \quad \mathbf{v} = (0, 1, 1)

$$\mathbf{u} = (1, 0, 2), \quad \mathbf{v} = (0, 1, 1)$$

Il prodotto vettoriale \mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ è dato da:

\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)

$$\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$$

Calcolando, otteniamo:

\mathbf{n} = (-2, -1, 1)

$$\mathbf{n} = (-2, -1, 1)$$

Ora possiamo scrivere l'equazione cartesiana del piano usando il punto P(1, 1, 1)$P(1, 1, 1)$:

-2(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0

$$-2(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0$$

Espandendo, otteniamo:

-2x + 2 - y + 1 + z - 1 = 0 \implies -2x - y + z + 2 = 0

$$-2x + 2 - y + 1 + z - 1 = 0 \implies -2x - y + z + 2 = 0$$

Quindi, l'equazione cartesiana del piano è:

2x + y - z = 2

$$2x + y - z = 2$$

Esercizio 3

Trovare l'intersezione tra la retta data da \mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)$\mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)$ e il piano dato da 2x + y - z = 2$2x + y - z = 2$.

Soluzione:

1. Equazione Parametrica della Retta:
   Scriviamo le equazioni parametriche della retta:

   x = 1 + 2t, \quad y = 2 + t, \quad z = 3 - t

   $$x = 1 + 2t, \quad y = 2 + t, \quad z = 3 - t$$

2. Sostituzione nell'Equazione del Piano:
   Sostituiamo le espressioni per x, y$x, y$ e z$z$ nell'equazione del piano:

   2(1 + 2t) + (2 + t) - (3 - t) = 2

   $$2(1 + 2t) + (2 + t) - (3 - t) = 2$$

   Semplificando, otteniamo:

   2 + 4t + 2 + t - 3 + t = 2

   $$2 + 4t + 2 + t - 3 + t = 2$$

   4t + 2t + 2 - 3 = 2 \implies 6t - 1 = 2

   $$4t + 2t + 2 - 3 = 2 \implies 6t - 1 = 2$$

   6t = 3 \implies t = \frac{1}{2}

   $$6t = 3 \implies t = \frac{1}{2}$$

3. Calcolo del Punto di Intersezione:
   Abbiamo trovato t = \frac{1}{2}$t = \frac{1}{2}$. Ora sostituiamo questo valore nelle equazioni parametriche della retta per trovare le coordinate del punto di intersezione.

4. Sostituzione nelle Equazioni Parametriche:

   x = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2

   $$x = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2$$

   y = 2 + \left(\frac{1}{2}\right) = 2 + 0.5 = 2.5

   $$y = 2 + \left(\frac{1}{2}\right) = 2 + 0.5 = 2.5$$

   z = 3 - \left(\frac{1}{2}\right) = 3 - 0.5 = 2.5

   $$z = 3 - \left(\frac{1}{2}\right) = 3 - 0.5 = 2.5$$

5. Punto di Intersezione:
   Quindi, il punto di intersezione tra la retta e il piano è:

   (x, y, z) = (2, 2.5, 2.5)

   $$(x, y, z) = (2, 2.5, 2.5)$$

English version

Exercises on parametric and Cartesian equations of a plane and a line

Cartesian and parametric equations of a plane and a line are fundamental tools in analytical geometry. They use vectors to describe the position of points in space. Here is an explanation of the main concepts and some exercises.

Main Concepts

1. Parametric Equation of a Line:
   A line in space can be described using a point \mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$\mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$ and a direction vector \mathbf{d} = (a, b, c)$\mathbf{d} = (a, b, c)$. The parametric equation of the line is:

\mathbf{r}(t) = \mathbf{P_0} + t \mathbf{d}

$$\mathbf{r}(t) = \mathbf{P_0} + t \mathbf{d}$$

where ( t ) is a real parameter. If \mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$\mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$ and \mathbf{d} = (a, b, c)$\mathbf{d} = (a, b, c)$, then:

\mathbf{r}(t) = (x_0 + ta, y_0 + tb, z_0 + tc)

$$\mathbf{r}(t) = (x_0 + ta, y_0 + tb, z_0 + tc)$$

2. Cartesian Equation of a Line:
   The Cartesian equation of a line can be expressed as:

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$

3. Parametric Equation of a Plane:
   A plane can be described using a point \mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$\mathbf{P_0} = (x_0, y_0, z_0)$ and two non-parallel vectors \mathbf{u}$\mathbf{u}$ and \mathbf{v}$\mathbf{v}$. The parametric equation of the plane is:

\mathbf{r}(s, t) = \mathbf{P_0} + s \mathbf{u} + t \mathbf{v}

$$\mathbf{r}(s, t) = \mathbf{P_0} + s \mathbf{u} + t \mathbf{v}$$

where s and t are real parameters.

4. Cartesian Equation of a Plane:
   A plane can also be described with the equation:

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

where (A, B, C) is a normal vector to the plane.

Exercises

Exercise 1

Find the parametric and Cartesian equation of the line that passes through the points A(1, 2, 3) and B(4, 5, 6).

Solution:

• Calculate the direction vector \mathbf{d} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)$\mathbf{d} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)$.
• Choose a point \mathbf{P_0} = (1, 2, 3)$\mathbf{P_0} = (1, 2, 3)$.
• Parametric equation:

\mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(3, 3, 3) = (1 + 3t, ​​2 + 3t, ​​3 + 3t)

$$\mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(3, 3, 3) = (1 + 3t, ​​2 + 3t, ​​3 + 3t)$$

• Cartesian equation:

\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{3}

$$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{3}$$

Exercise 2

Find the parametric and Cartesian equation of the plane that passes through the point P(1, 1, 1) and has direction vectors \mathbf{u} = (1, 0, 2)$\mathbf{u} = (1, 0, 2)$ and \mathbf{v} = (0, 1, 1)$\mathbf{v} = (0, 1, 1)$.

Solution:

• Choose a point \mathbf{P_0} = (1, 1, 1)$\mathbf{P_0} = (1, 1, 1)$.
• Parametric equation:

\mathbf{r}(s, t) = (1, 1, 1) + s(1, 0, 2) + t(0, 1, 1)

$$\mathbf{r}(s, t) = (1, 1, 1) + s(1, 0, 2) + t(0, 1, 1)$$

Expanding, we get:

\mathbf{r}(s, t) = (1 + s, 1 + t, 1 + 2s + t)

$$\mathbf{r}(s, t) = (1 + s, 1 + t, 1 + 2s + t)$$

So, the parametric equation of the plane is:

\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2s + t \end{cases}

$$\begin{cases} x = 1 + s \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2s + t \end{cases}$$

Cartesian Equation of the Plane

To find the Cartesian equation of the plane, we can use the point P(1, 1, 1)$P(1, 1, 1)$ and the normal vector, which can be calculated as the cross product of the two direction vectors \mathbf{u}$\mathbf{u}$ and \mathbf{v}$\mathbf{v}$.

We calculate the vector product:

\mathbf{u} = (1, 0, 2), \quad \mathbf{v} = (0, 1, 1) 

$$\mathbf{u} = (1, 0, 2), \quad \mathbf{v} = (0, 1, 1)$$

The vector product \mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ is given by:

 \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)

$$\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$$

Calculating, we get:

\mathbf{n} = (-2, -1, 1)

$$\mathbf{n} = (-2, -1, 1)$$

Now we can write the Cartesian equation of the plane using the point P(1, 1, 1)$P(1, 1, 1)$:

-2(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0

$$-2(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0$$

Expanding, we get:

-2x + 2 - y + 1 + z - 1 = 0 \implies -2x - y + z + 2 = 0

$$-2x + 2 - y + 1 + z - 1 = 0 \implies -2x - y + z + 2 = 0$$

So, the Cartesian equation of the plane is:

2x + y - z = 2

$$2x + y - z = 2$$

Exercise 3

Find the intersection between the line given by \mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)$\mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)$ and the plane given by 2x + y - z = 2$2x + y - z = 2$.

Solution:

1. Parametric Equation of the Line:
   Let's write the parametric equations of the line:

x = 1 + 2t, \quad y = 2 + t, \quad z = 3 - t

$$x = 1 + 2t, \quad y = 2 + t, \quad z = 3 - t$$

2. Substitution in the Equation of the Plane:
   Let's substitute the expressions for x, y$x, y$ and z$z$ in the equation of the plane:

2(1 + 2t) + (2 + t) - (3 - t) = 2

$$2(1 + 2t) + (2 + t) - (3 - t) = 2$$

Simplifying, we get:

2 + 4t + 2 + t - 3 + t = 2

$$2 + 4t + 2 + t - 3 + t = 2$$

4t + 2t + 2 - 3 = 2 \implies 6t - 1 = 2

$$4t + 2t + 2 - 3 = 2 \implies 6t - 1 = 2$$

6t = 3 \implies t = \frac{1}{2}

$$6t = 3 \implies t = \frac{1}{2}$$

3. Calculating the Intersection Point:
   We found t = \frac{1}{2}$t = \frac{1}{2}$. Now we substitute this value into the parametric equations of the line to find the coordinates of the intersection point.
4. Substitution in Parametric Equations:

x = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2

$$x = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2$$

y = 2 + \left(\frac{1}{2}\right) = 2 + 0.5 = 2.5

$$y = 2 + \left(\frac{1}{2}\right) = 2 + 0.5 = 2.5$$

z = 3 - \left(\frac{1}{2}\right) = 3 - 0.5 = 2.5

$$z = 3 - \left(\frac{1}{2}\right) = 3 - 0.5 = 2.5$$

5. Intersection Point:
   So, the intersection point between the line and the plane is:

(x, y, z) = (2, 2.5, 2.5)

$$(x, y, z) = (2, 2.5, 2.5)$$