Equazioni differenziali di primo grado

Equazioni differenziali di primo grado

Equazioni differenziali di primo grado

Versione italiana

Equazioni Differenziali di Primo Grado

Le equazioni differenziali di primo grado sono equazioni che coinvolgono una funzione incognita e la sua derivata prima. Queste equazioni possono essere scritte nella forma generale:

\frac{dy}{dx} = f(x, y)

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

dove y$y$ è la funzione incognita, x$x$ è la variabile indipendente e f(x, y)$f(x, y)$ è una funzione nota.

Tipi di Equazioni Differenziali di Primo Grado

1. Equazioni Differenziali Separabili

Un'equazione differenziale è separabile se può essere scritta nella forma:

\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)

$$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

In questo caso, possiamo separare le variabili e integrare:

\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx

$$\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx$$

Esempio:

\frac{dy}{dx} = xy

$$\frac{dy}{dx} = xy$$

Separando le variabili:

\frac{1}{y} dy = x dx

$$\frac{1}{y} dy = x dx$$

Integrando entrambi i lati:

\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C

$$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$

Dove C$C$ è la costante di integrazione.

2. Equazioni Lineari

Un'equazione differenziale di primo grado è lineare se può essere scritta nella forma:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

dove P(x)$P(x)$ e Q(x)$Q(x)$ sono funzioni note.

Per risolvere un'equazione lineare, utilizziamo il fattore integrante:

\mu(x) = e^{\int P(x) dx}

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$$

Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per il fattore integrante:

\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)

$$\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)$$

Dopo aver semplificato, possiamo integrare per trovare la soluzione.

Esempio:

\frac{dy}{dx} + 2y = e^x

$$\frac{dy}{dx} + 2y = e^x$$

Qui, P(x) = 2$P(x) = 2$ e Q(x) = e^x$Q(x) = e^x$.

Calcoliamo il fattore integrante:

\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}

$$\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$$

Moltiplichiamo l'equazione per e^{2x}$e^{2x}$:

e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x} y = e^{3x}

$$e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x} y = e^{3x}$$

La parte sinistra diventa la derivata di un prodotto:

\frac{d}{dx}(e^{2x} y) = e^{3x}

$$\frac{d}{dx}(e^{2x} y) = e^{3x}$$

Integrando entrambi i lati:

e^{2x} y = \frac{1}{3} e^{3x} + C

$$e^{2x} y = \frac{1}{3} e^{3x} + C$$

Risolvendo per y$y$:

y = \frac{1}{3} e^{x} + Ce^{-2x}

$$y = \frac{1}{3} e^{x} + Ce^{-2x}$$

English version

First Degree Differential Equations

First degree differential equations are equations involving an unknown function and its first derivative. These equations can be written in the general form:

\frac{dy}{dx} = f(x, y)

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

where y$y$ is the unknown function, x$x$ is the independent variable, and f(x, y)$f(x, y)$ is a known function.

Types of First Degree Differential Equations

1. Separable Differential Equations

A differential equation is separable if it can be written in the form:

\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)

$$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

In this case, we can separate the variables and integrate:

\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx

$$\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx$$

Example:

\frac{dy}{dx} = xy

$$\frac{dy}{dx} = xy$$

Separating the variables:

\frac{1}{y} dy = x dx

$$\frac{1}{y} dy = x dx$$

Integrating both sides:

\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C

$$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$

Where C$C$ is the constant of integration.

2. Linear Equations

A first degree differential equation is linear if it can be written in the form:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

where P(x)$P(x)$ and Q(x)$Q(x)$ are known functions.

To solve a linear equation, we use the integrating factor:

\mu(x) = e^{\int P(x) dx}

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$$

We multiply both sides of the equation by the integrating factor:

\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)

$$\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)$$

After simplifying, we can integrate to find the solution.

Example:

\frac{dy}{dx} + 2y = e^x

$$\frac{dy}{dx} + 2y = e^x$$

Here, P(x) = 2$P(x) = 2$ and Q(x) = e^x$Q(x) = e^x$.

Let's calculate the integrating factor:

\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}

$$\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$$

Let's multiply the equation by e^{2x}$e^{2x}$:

e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x} y = e^{3x}

$$e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x} y = e^{3x}$$

The left side becomes the derivative of a product:

\frac{d}{dx}(e^{2x} y) = e^{3x}

$$\frac{d}{dx}(e^{2x} y) = e^{3x}$$

Integrating both sides:

e^{2x} y = \frac{1}{3} e^{3x} + C

$$e^{2x} y = \frac{1}{3} e^{3x} + C$$

Solving for y$y$:

y = \frac{1}{3} e^{x} + Ce^{-2x}

$$y = \frac{1}{3} e^{x} + Ce^{-2x}$$